《课程标准（2011年版）》提出学生对质量单位的学习要求是：“在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的换算；能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单实际问题?！彼战贪娼滩陌才叛谌昙都醒爸柿康ノ?，并注意引导学生通过观察、操作、推算等活动初步建立相关质量单位的观念，结合实际问题初步掌握计量或估计物体轻重的方法，学会根据实际情况选择合适的质量单位进行表达和交流，培养估计意识、发展估计能力，拓宽知识视野，感受数学与生活的密切联系。

美国Harcourt教材中，质量单位从一年级就开始初步认识，接下来的小学阶段每年都有质量单位的学习，整个学习内容由浅入深、螺旋上升。并且计量单位中的“长度、质量、容量、温度”等基本单位同步学习，内容的涉及面比较广泛，注意对物体的特征从不同角度进行认识，以逐步丰富学生对常见量的认知。下面简单介绍Harcourt教材中对质量单位教学内容的安排及特点，与大家分享。

一、从学生已有的生活经验出发，在生活中感受数学

Harcourt教材中安排一年级学生学习“weight（重量）”。物体有轻有重，学生在日常生活中有着丰富的生活经验。但是要测量物体到底有多重，则需要测量工具，质量单位的产生也正是源于这一实际生活的需要。教材第一课时的内容是： “Measure weight in nonstandard and standard units.”（用非标准单位和标准单位测量）。学生先学习使用天平（Use a balance），不过这里的“balance”不是使用标准的砝码，而是使用学具中的回形针和玩具小熊作为测量单位，测出的物体的质量是几个回形针或玩具小熊。学生动手测量，并在操作的过程中体会到：选择回形针可以测量轻一点的物体，选择玩具小熊测量重一点的物体。（Use paper clips for lighter objects, bears for heavier objects.）（如图1）教材同时重视培养学生的估测能力，设计了让学生先估计（Estimate），再测量（Measurement）的操作活动，以培养学生初步的估测能力和实际应用能力。

图1  在操作活动中初步认识质量单位

教材的第二课时，学习质量单位Pound（磅）?！鞍酢笔敲拦谌粘Ｉ钪惺熘闹柿康ノ?。一年级孩子初次学习的内容相对简单，例题中直接给出一包糖约重1磅，一包面粉约重5磅。学生只要判断给出的物体是1磅还是10磅（如图2）。在积累了一定经验的基础上，借助“Daily Reasoning”（日常推理）进行总结：If an object looked light, I estimated 1 pound. If an object looked heavy, I estimated 10 pound.（如果物体看起来比较轻，推测它重1磅，看起来比较重，则是10磅）。此时，仅要求学生对1磅或10磅重的物体有一个初步印象，以积累直观经验，并为接下来的学习打好基础。

图2  初步认识质量单位磅

接着安排千克与克的初步认识。教材开门见山，直接给出一本书约重1千克（kilogram），一个回形针约重1克（gram）。随后教材给出了学生学习中常用的各种物品，只要学生能够判断给出的物体用“克”还是“千克”作单位即可。同样在“Daily Reasoning”（日常推理）中总结方法：直观感知测量比较重的物体用“千克”作单位，而轻的物体用“克”作单位。在学生初步感知这两个单位的基础上，开展实际操作活动，同样要求他们先估计、再测量。给出的便签纸、直尺、铅笔等物品也都是学习中能够经常接触到的物品（如图3）。

图3  认识千克和克时的估计活动

二、学习常用单位和法定单位，初步了解质量单位的内涵

Harcourt教材在二年级把计量单位分为“Customary Measurement”（习惯度量）和“Metric Measurement”（法定度量）。帮助学生初步了解哪些是常用度量单位，这是学生很熟悉并且在日常生活中经常用到的；哪些是国际通用的法定度量单位，要求学生从数学的角度理解质量单位的内涵。

教材第一课时的内容与一年级的类似，“Measure weight with nonstandard units”,用回形针（paper clip）和小方块（cube）为计量单位，在天平上测量常见物体的质量大约重几个回形针或几个小方块。学生在操作的过程中积累经验，并初步学会快速判断是选择回形针还是小方块作为测量单位，同时注重先估计、再测量，以培养学生估测或测量物体质量的能力。

接着教材介绍了生活中的习惯度量单位“Ounce”（盎司）和“Pound”（磅），从学生日常生活中常见的面包说起：一片面包大约重1盎司，一条面包大约重1 磅（A slice of bread weighs about 1 ounce. A loaf of bread weighs about 1 pound.）。 面包几乎是美国早餐的必备品，学生每天都会接触到，随手一拿就能感受到它的重量。有了这样一个参照物，学生就可以把其他物品和一片面包或一条面包进行比较，就能比较容易地判断给出的物体是用“Ounce”还是“Pound”作单位。

Harcourt教材在这一单元的“Daily Reasoning”（日常推理）中引导学生思考“Is a large object always heavy?”（大的物体就比较重吗）（如图4） 引导学生在深入思考体会，物体的质量与它的形状大小并没有直接的、必然的联系。

图4  物体质量与形状大小的关系

     在有了一定生活经验的基础上，二年级学生进一步学习法定计量单位（Metric Measurement）“gram”和“kilogram”。学习内容和形式和一年级类似，主要是为给出的物体选择合适的单位。只不过一年级教材上给出的物品是学校常用物品，例如整理箱、剪刀、胶水、彩纸、书本、书包等，而二年级给出的物品则是生活中的日用品，例如汤匙、冰箱、小狗、牙签、一袋土豆等，以便于学生进一步体会数学在实际生活中的应用。此时对学生的思维要求不再满足于“Daily Reasoning”（日常推理），而是“Logical Reasoning”（逻辑推理），即通过给出问题让学生选择合适的答案，例如：“A beagle puppy has a mass of about 5 kilograms. What might be the mass of an adult beagle?  100 kilograms   12 kilograms”（一只幼猎犬重约5千克，一只成年猎犬可能多重？100千克， 还是12千克）（如图5）

图5  通过推理选择答案

这种通过推理进行的估计，不仅有利于学生加深对千克和克的体验，而且能有效地培养他们的估计意识和能力。

三、深入学习质量单位的本质内涵，培养学生的数学素养

Harcourt教材在三年级第一次明确指出“The gram(g) and the kilogram(kg) are metric units for measuring mass, or the amount of matter in an object.”（克和千克是计量物体或物体总量的质量的法定单位）。接下来教材安排了计量教室里物品质量的操作活动，引导学生仍然以回形针为“砝码”，依据“10个回形针约重10克”，找找教室里大约重10克的其他物品，再以此为标准，找到教室里重25克、1千克的物品。仅提供一架简易的“balance”，没有现成的砝码，放手让学生动手去操作，体会不同物品的质量。本单元还涉及单位换算。教材直接给出1000grams=1kilogram，要求学生通过换算回答：5千克的猫是多少克？然后给出了一些物品，要求学生选择合适的答案，比如一部手机重200g还是200kg，一条狗重9g还是9kg等，以帮助学生直接感知质量单位“克和千克”（如图6）。

图6  千克和克的简单换算

四年级的教材中指出“The customary units for measuring weight are ounce(oz), pound(lb), and ton(T).”（常用的质量单位是盎司，磅和吨）教材中给出了参照物：一辆玩具小汽车约重1 oz，一辆?？匦∑翟贾?span>1lb，一辆轿车约重1T。同时，书上给出了上述常用质量单位的换算方法：16ounce（oz）=1 pound（lb）  2000pounds（lb）=1ton（T）。要求学生能够依据给出的关系进行简单的单位换算，并学会选择合适的质量单位（如图7）。

图7  盎司、磅和吨的认识

     教材接下来安排对法定质量单位千克和克进行相对抽象的认识，教材指出：“Matter is what all objects are made of. Mass is the amount of matter in an object. Metric units of mass are the gram(g) and the kilogram(kg).”（物质构成万物，质量是物体所含物质的多少，计量质量的法定单位是克和千克）。此时学生对“质量”这个概念有了一定的抽象的认识，同时也在一定程度上理解了质量单位“千克与克”的深刻内涵。在单位换算的过程中，则进一步教学用乘1000的方法把以“千克”作单位的数量换算成以“克”作单位的数量，用除以1000的方法把以“克”作单位的数量换算成以“千克”作单位的数量（如图8）。

图8  用乘除法进行千克与克的换算

五六年级有关质量单位的知识主要集中在解决问题上。比如五年级的一道例题是“Ms. Allison needs to make 50 sandwiches for the fifth grade. If she uses two 1-kilogram jars of peanut butter, how many grams of peanut butter will she use for each sandwich?”（Allison老师要为五年级的学生做50个三明治，如果她用了2罐花生酱，每罐1千克，请问每个三明治上可以涂多少克花生酱？）教材中给出了详细的解决问题的步骤（如图9），帮助学生分析理解题意，弄清其中的数量关系，并列出相应的算式以使问题得以解决。这样的过程条理清晰，学生很容易理解接受。

图9  解决与质量有关的实际问题

四、设计简单而有童趣的数学游戏，激发学生学习兴趣

游戏是儿童最自然的学习，Harcourt教材在低年级安排了诸多游戏。下面介绍一二年级在学习计量单位后安排的游戏。   

一年级教材中，在学生学习了简单的“Weight”知识后，教材给出了一个数学游戏（Math game），玩法类似飞行棋：由两人轮流掷骰子，掷到几就走几步，然后称一称那一格显示的物体的质量，是几克就拿几个花片（counters，学生常用的学具之一）。两人都走到“End”后，数一数花片的数量，多者为胜。（如图10）

图10  了解物体质量的数学游戏

把测量物体质量的重复枯燥活动转化为学生喜欢的游戏，提高了学生的学习兴趣，培养了学生的合作意识。

Harcourt教材中，学生在二年级不仅学习了质量单位，还学习了容量、长度等计量单位。对于低年级的学生来说，他们对物体的关注往往比较直观，对物体的大小、长短、颜色等比较容易理解，而对于质量、容积等物体的属性关注相对较少，感知方法通常也比较间接。另一方面，一个物体的特征是多样化的，我们不应该只让学生局限于其中的一个角度，而应该引导学生全面、深入地研究物体的特征。Harcourt教材在结束计量这个单元的学习后，安排了一个综合游戏，把物体的质量、长度和容积融合起来进行研究，帮助学生理解物体的多方面属性。

游戏规则是依然类似于飞行棋：由两个玩家各持一个棋子，掷骰子决定可以走几步，然后转转盘，转盘上标有mass（质量） capacity（容量） length （长度），转到什么，就以什么单位来测量物体，先到终点者为胜。这样的游戏，让学生可以多维度地了解一个物体的特征，更加直观深入地了解不同的计量单位所表述的真正含义。

     俄罗斯数学家罗巴切夫斯基说过，“不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上?！毖邮苤侗匦胧且桓鲇梢椎侥?、由少到多、由感性到理性的过程。Harcourt教材在安排“千克、克与吨”这个内容的教学时特别注意从生活实际出发，帮助学生逐步建立质量单位的概念，让学生体验到数学学习的乐趣，同时引导他们利用所学知识解决实际问题，感受数学知识与现实生活问题的密切联系。

    教材的修订和课堂教学的改革是不会停止的，应该一直处于“进行”的过程之中。如果美国Harcourt教材的一些元素能够对我们有所启发、有一些借鉴作用，那么一定不只是他们教材形式上的新奇或特别，而更多的是教学理念的丰富与开放。